已知曲线C是动点M到两个定点O（0，0）、A（3，0）距离之比为12的点的轨迹．（1）求曲线C的方程；（2）求过点N（1，3）与曲线C相切的直线方程．

Question

已知曲线C是动点M到两个定点O（0，0）、A（3，0）距离之比为(1)/(2)的点的轨迹．
（1）求曲线C的方程；
（2）求过点N（1，3）与曲线C相切的直线方程．

Answer 1

（1）设点M（x，y），则
|OM|=√(x2+y2)，|AM|=√((x−3)2+y2)
∵(|OM|)/(|AM|)=(1)/(2)，∴|AM|=2|OM|即√((x−3)2+y2)=2√(x2+y2)…4分
两边平方整理，得：x²+y²+2x-3=0，即为所求曲线C的方程．…6分
（2）由（1）得x²+y²+2x-3=0，整理得（x+1）²+y²=4
∴曲线C是以（-1，0）为圆心，半径r=2的圆．
i）当过点N（1，3）的直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，显然与圆相切；…8分
ii） 当过点N（1，3）的直线的斜率存在时，设方程为y-3=k（x-1）
即kx-y+3-k=0                               …9分
∵直线与圆相切．得圆心到该直线的距离等于半径，
∴(|−k+0+3−k|)/(√(k2+1))＝2，解之得k=(5)/(12)，…11分
可得直线方程为5x-12y+31=0                 …12分
所以过点N（1，3）与曲线C相切的直线方程为x=1或5x-12y+31=0．…13分