给定三个点如何求平面方程?大家都知道平面的一般方程是：Ax+By+cZ+D=0如果给定三个点（x1,y1,z1）,（x2,y2,z2）,（x3,y3,z3）,那么只能写出3个方程,而总共有A,B,C,D四个未知数,还有一个就求不出来

Question

给定三个点如何求平面方程?
大家都知道平面的一般方程是： Ax+By+cZ+D=0
如果给定三个点（x1,y1,z1）,（x2,y2,z2）,（x3,y3,z3）,那么只能写出3个方程,而总共有A,B,C,D四个未知数,还有一个就求不出来了.如果不用法向量的方法,是不是就求不出来了呢?还请大家指点一二,谢谢了.

Answer 1

四个未知数求出三个就够啦,这三个未知数都可以用第四个未知数来表示,
假设第四个未知数是D.则求出来的三个未知数一般是：A=a*D;B=b*D;C=c*D;（D不等于0）
最终有a*Dx+b*Dy+cDz+D=0,等式两边同除以D,得平面方程ax+by+cz+1=0；
特殊情况下,即D=0,所求平面过原点,上面的方法失效；反之,上面的方法失效,D必定为0；
此时只要求得A 、B、 C中任意两个即可（事实上3个方程只能求出2个未知数）,方法同上,平面方程为ax+by+z=0；
依次类推,平面方程还可能为ax+y=0或x=0等等.
总之,求平面的一般方程Ax+By+cZ+D=0时,不能而且也没必要将A B C D都求出来.
即使用法向量的方法求平面方程时,只要求法向量的方向确定,但不需要求出法向量的模.两者道理是一样的.
由三个点（x1,y1,z1）,（x2,y2,z2）,（x3,y3,z3）,
一般由3行3列的行列式确定：
| X-X1 Y-Y1 Z-Z1 |
|X1-X2 Y1-Y2 Z1-Z2 | =0,很容易记的,每个元素都是对应点作差求得.
|X1-X3 Y1-Y3 Z1-Z3 |