设f（x）=ex-a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）

Question

设f（x）=e ^x -a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设 是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得 对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：
（1）由f（x）=ex-a（x+1），知f′（x）=ex-a，故f（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，再由f（x）≥0对一切x∈R恒成立，能amax．（2）由f（x）=ex-a（x+1），知g（x）=f（x）+=．由a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，知g′（x）=ex--a≥2-a=-a+2=m，（a≤-1），由此能求出实数m的取值范围．（3）设t（x）=ex-x-1，则t′（x）=ex-1，从而得到ex≥x+1，取，用累加法得到．由此能够推导出存在正整数a=2．使得1n+3n+…+（2n-1）n＜?（an）n．

（1）∵f（x）=ex-a（x+1），∴f′（x）=ex-a，∵a＞0，f′（x）=ex-a=0的解为x=lna．∴f（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，∴-alna≥0，∴alna≤0，∴amax=1．（2）∵f（x）=ex-a（x+1），∴g（x）=f（x）+=．∵a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，∴g′（x）=ex--a≥2-a=-a+2=m，（a≤-1），解得m≤3，∴实数m的取值范围是（-∞，3]．（3）设t（x）=ex-x-1，则t′（x）=ex-1，令t′（x）=0得：x=0．在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．∴t（x）最小值为f（0）=0，故ex≥x+1，取，得，累加得．∴1n+3n+…+（2n-1）n＜?（2n）n，故存在正整数a=2．使得1n+3n+…+（2n-1）n＜?（an）n．
点评：
本题考查满足条件的实数的最大值的求法，考查满足条件地实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数的最小值．综合性强，难度大．解题时要认真审题，合理地运算导数性质进行等价转化．