已知F是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）右焦点，若F到双曲线C的渐近线的距离是1，且双曲线C的离心率e=62．（1）求双曲线C的

Question

已知F是双曲线C： (x2)/(a2) -(y2)/(b2) =1 （a＞0，b＞0）右焦点，若F到双曲线C的渐近线的距离是1，且双曲线C的离心率 e=(6)/(2) ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若

AP

=(1)/(2)

AQ

，求直线l的方程．

Answer 1

（1）由对称性，不妨设一渐近线为 y=(b)/(a) x ，右焦点为F（c，0），
则 (bc)/(a2 + b2) =1 ，即b=1又 e=(c)/(a) =(6)/(2)
∴解得a ² =2，所以双曲线C的方程是 (x2)/(2) - y 2 =1 ；
（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x ₁ ，y ₁ ），Q（x ₂ ，y ₂ ），
由

y=kx+1

x 2 -2 y 2 =2

得：（1-2k ² ）x ² -4kx-4=0，
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，
∴

△=16 k 2 +16(1-2 k 2 )＞0

x 1 + x 2 =(-4k)/(2 k2 -1) ＞0

x 1 x 2 =(4)/(2 k2 -1) ＞0

1-2 k 2 ≠0

∴ (1)/(2) ＜ k 2 ＜1 且k＜0①
又∵

AP

=(1)/(2)

AQ

，∴ ( x 1 ， y 1 -1)=(1)/(2) ( x 2 ， y 2 -1) x ₂ =2x ₁
∴ 3 x 1 =(-4k)/(2 k2 -1) ， 3 x 1 =(-8k)/(2 k2 -1)
∴ 9 x 1 x 2 =(32 k2)/((2 k2 -1)2) =9×(4)/(2 k2 -1) ， k=±(310)/(10) 满足①式．
∴直线l的方程为 y=(310)/(10) x+1或y=-(310)/(10) x+1