若σ是一个双射,则σ^-1也是一个双射.麻烦老师给下证明的完整过程,

Question

若σ是一个双射,则σ^-1也是一个双射.麻烦老师给下证明的完整过程,

Answer 1

设 σ 是 M 到 N 的双射
则对N中任一元素n, 有唯一的原象m, 满足 σ(m)=n, 即有 σ^-1(n)=m.
所以 σ^-1 是满射.
若 σ^-1(n1) = σ^-1(n2), 即 n1,n2 在σ下的原象相同
则存在 m 属于 M 使得 σ(m)=n1, σ(m)=n2
但σ是映射, 必有 n1=n2
所以 σ^-1 是满射
故 σ^-1 是双射.