如图所示,已知AD与BC相交于点E,角1=角2=角3,BD=CD,角ADB=90度,CH垂直AB于点H,CH交AD于点F.（1）求证:CD平行AB.（2）求证:角BDE全等于角ACE.（3）若O为AB的中点,求证:OF=二分之一BE.

Question

如图所示,已知AD与BC相交于点E,角1=角2=角3,BD=CD,角ADB=90度,CH垂直AB于点H,CH交AD于点F.       （1）求证: CD平行AB.   （2）求证:角BDE全等于角 ACE.    （3）若O为AB的中点,求证:OF=二分之一BE.

Answer 1

证明：（1）∵BD=CD,
∴∠BCD=∠1；
∵∠1=∠2,
∴∠BCD=∠2；
∴CD∥AB．
（2）∵CD∥AB,∴∠CDA=∠3．
∵∠BCD=∠2=∠3,
∴BE=AE．
且∠CDA=∠BCD,
∴DE=CE．
在△BDE和△ACE中,
∵DE=CE,∠DEB=∠CEA,BE=AE．
∴△BDE≌△ACE；
（3）∵△BDE≌△ACE,
∴∠4=∠1,∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°-∠BCH；
又∵CH⊥AB,
∴∠2=90°-∠BCH；
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4,
∴AF=CF；
∵∠AEC=90°-∠4,∠ECF=90°-∠ACH,
又∵∠ACH=∠4,
∴∠AEC=∠ECF；
∴CF=EF；
∴EF=AF；
∵O为AB中点,
∴OF为△ABE的中位线；
∴OF=1/2 BE．