已知f(x)是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：①f(x)的值域为G，且G⊆[a，b]；②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f(x)-f(y)|<|x-y|．那么，关于x的方程f(x)=x在区间[a

Question

已知f(x)是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
①f(x)的值域为G，且G⊆[a，b]；
②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f(x)-f(y)|<|x-y|．
那么，关于x的方程f(x)=x在区间[a，b]上根的情况是

• A

  没有实数根
• B

  有且仅有一个实数根
• C

  恰有两个实数根
• D

  有无数个不同的实数根

Answer 1

【分析】由题意设g(x)=f(x)-x，已知区间[a，b]判断两个端点与0的关系，根据根的存在定理进行求解．

设g(x)=f(x)-x．
g(a)=f(a)-a≥0，g(b)=f(b)-b≤0，
所以g(x)=0在[a，b]有实数根，
若有两个不同的实数根x，y，
则f(x)=x，f(y)=y，得f(x)-f(y)=x-y，
这与已知条件|f(x)-f(y)|<|x-y|相矛盾．
故选B．

【点评】此题考查根的存在性及根的个数判断，比较简单是一道基础题．