设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）求{an}的通项公式。

Question

设数列{a _n }的前n项和为S _n ，且方程x ² -a _n x-a _n =0 有一根为S _n -1，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求a ₁ ，a ₂ ；
（Ⅱ）求{a _n }的通项公式。

Answer 1

（I）当n=1时， ，有一根为 ，
于是 ，解得 ；
当n=2时，有一根为 ，
于是 ，解得 ；
（II）由题设 ，
即 ，
当n≥2时， ，代入上式得 ， ①
由（I）知 ， ，
由①可得， ，
由此猜想 ，
下面用数学归纳法证明这个结论
（i）n=1时已知结论成立；
（ii）假设n=k时结论成立，即 ，
当n=k+1时，由①得 ，即 ，
故n=k+1时结论也成立；
综上，由（i）、（ii）可知 对所有正整数n都成立；
于是当n≥2时， ，
又n=1时， ，
所以{a _n }的通项公式为 。