ln(cosX)taylor多项式展开到X的6次方项,就指教ln(cosX)taylor多项式展开到X的6次方项,要仔细点的过程,不太明白,为什么我先直接把cosX展开后代进ln当中再用ln的taylor展开就是不对呢?求指教,做taylor展

Question

ln(cosX)taylor多项式展开到X的6次方项,就指教
ln(cosX)taylor多项式展开到X的6次方项,要仔细点的过程,不太明白,为什么我先直接把cosX展开后代进ln当中再用ln的taylor展开就是不对呢?求指教,做taylor展开要注意点什么,我一头雾水,总做不对,那个系数总是做得和答案不一样.

Answer 1

(lncosx)'=-sinx/cosx=-tanx
先把-tanx展开,然后逐项积分就行了
也可以直接展开,cosx=1-x^2/2+x^4/24-x^6/720
ln(cosx)=ln[1-(x^2/2-x^4/24+x^6/720)]
因为ln(1-x)=-∑(x^n/n)=-(x+x^2/2+x^3/3)
所以
ln(cosx)=ln[1-(x^2/2-x^4/24+x^6/720)]
=-[(x^2/2-x^4/24+x^6/720)+(x^2/2-x^4/24)^2/2+(x^2/2)^3/3]
=-x^2/2-x^4/12-x^6/45+o(x^6)