已知四棱锥S-ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分别为AB、SC中点．（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的表面积；（Ⅱ）求证：MN∥平面SAD．

Question

已知四棱锥S-ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分别为AB、SC中点．
（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的表面积；
（Ⅱ）求证：MN∥平面SAD．

Answer 1

（Ⅰ）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC．
又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，（3分）
∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD．
又∵SB=√(2)a，∴S_表面积=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD
=2×(1)/(2)a2+2×(1)/(2)a•√(2)a+a2＝(2+√(2))a2．（7分）
（Ⅱ）取SD中点P，连接MN、NP、PA，则NP=(1)/(2)CD，且NP∥CD．（9分）
又AM=(1)/(2)CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四边形．（12分）
∴MN∥AP，而AP⊂平面SAD，MN不在平面SAD内，∴MN∥平面SAD．    （14分）