已知的三边长分别为a,b,c,其面积为S,则△ABC的内切圆eO的半径r=2S/a+b+c.这是一道平面几何题,其证...已知的三边长分别为a,b,c,其面积为S,则△ABC的内切圆eO的半径r=2S/a+b+c.这是一道平面几何题,其

Question

已知的三边长分别为a,b,c,其面积为S,则△ABC的内切圆eO的半径r=2S/a+b+c.这是一道平面几何题,其证...
已知的三边长分别为a,b,c,其面积为S,则△ABC的内切圆eO的半径r=2S/a+b+c.这是一道平面几何题,其证明方法采用“等面积法”.请用类比推理方法,猜测对空间四面体ABCD存在什么类似结论?并加以证明.

Answer 1

三角形内接圆半径是：r=(2S)/(a＋b＋c),这个是用等面积法得到的.
假如在空间四边形ABCD中,其内切球的半径是R,这个四面体每个侧面的面积是S1、S2、S3、S4,四面体的体积是V,则：
V=(1/3)RS1＋(1/3)RS2＋(1/3)RS3＋(1/3)RS4
则：
R=(3V)/(S1＋S2＋S3＋S4)