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如图,正方形ABCD中,点M是边BC上一点(异于点B、C),AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K,连AK、MK.下列结论:①EF=AM;②AE=DF+BM;③EK>FK;④∠AKM=90°.其中正确的结论个数是(
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如图,正方形ABCD中,点M是边BC上一点(异于点B、C),AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K,连AK、MK.下列结论:①EF=AM;②AE=DF+BM;③EK>FK; ④∠AKM=90°.其中正确的结论个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
▼优质解答
答案和解析
作FG⊥AB于G,
∵AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K,
∴∠ANE=90°,AN=MN,
∵∠AEN=∠AMB,∠ABM=∠EGF,GF=AB,
∴△ABM≌△FGE,
∴EF=AM,
故①选项正确,
由①得:AG=DF,GE=BM,
∴AE=DF+BM;
故②选项正确,
将M点当作动点问题,M点从B运动到C,可发现BK由等于DK变为大于DK,然而M不与BC点重合,所以BK始终大于DK,△KEB∽△KFD,
∴EK>FK,
故③此选项正确;
过点K作RT⊥BC,此时TR⊥AD,
∵∠RDK=∠KDW=45°,
∴四边形DRKW是正方形,
∴RD=RK,
∴AR=KT,
∵AK=KM,
∴△ARK≌△KTM(HL),
∴∠AKR=∠KMT,
∴∠AKR+∠MKT=90°,
∴∠AKM=90°,
故④本选项正确.
故选D.
∵AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K,
∴∠ANE=90°,AN=MN,
∵∠AEN=∠AMB,∠ABM=∠EGF,GF=AB,
∴△ABM≌△FGE,
∴EF=AM,
故①选项正确,
由①得:AG=DF,GE=BM,
∴AE=DF+BM;
故②选项正确,
将M点当作动点问题,M点从B运动到C,可发现BK由等于DK变为大于DK,然而M不与BC点重合,所以BK始终大于DK,△KEB∽△KFD,
∴EK>FK,
故③此选项正确;
过点K作RT⊥BC,此时TR⊥AD,
∵∠RDK=∠KDW=45°,
∴四边形DRKW是正方形,
∴RD=RK,
∴AR=KT,
∵AK=KM,
∴△ARK≌△KTM(HL),
∴∠AKR=∠KMT,
∴∠AKR+∠MKT=90°,
∴∠AKM=90°,
故④本选项正确.
故选D.
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