如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K，设AM+CKMK=m．（1）观察：如图2，当∠CDF=60°时，m的值等于；如图3，当∠CDF=30°

Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K，设(AM+CK)/(MK)=m．
（1）观察：如图2，当∠CDF=60°时，m的值等于______；如图3，当∠CDF=30°时，m的值等于______；
（2）如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，求证：m＞1．
（3）如果MK²+CK²=AM²，则∠CDF=______度，m=

√(3)

√(3)

（直接写出结论）

Answer 1

（1）当∠CDF=60°时，如图2，
∵∠ACB=∠F=90°，∠CAD=30°，D为AB的中点，
∴DC=DA=DB，
∴∠KCD=30°，
∴∠CKD=90°，
∴KA=KC，
而AM=0，
∴m=(0+MK)/(MK)=1；
当∠CDF=30°时，如图3，
∴KC=KD，∠MKD=30°+30°=60°，
∵∠MDK=60°，
∴△DMK为等边三角形，
∴MK=KD=MD，∠KMD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠MDA=∠KMD-∠A=30°，
∴MA=MD，
∴MA=MK=KC，
∴m=(MK+MK)/(MK)=2；

（2）证明：作∠ADP=α，DP=DK，如图1，
∵在△ADP和△CDK中，

DA＝DC

∠ADP＝∠CDK

DP＝DK

，
∴△ADP≌△CDK（SAS），
∴AP=CK，
∵∠ADC=120°，∠MDK=60°，
∴∠ADM=120°-60°-α=60°-α，
∴∠MDP=60°-α+α=60°，
∵在△MDP和△MDK中，

MD＝MD

∠MDP＝∠MDK

DP＝DK

，
∴△MDP≌△MDK（SAS），
∴PM=MK，
∵AM+AP＞PM，
∴AM+KC＞MK，
∴m＞1；

（3）如图1，由（2）得PM=MK，AP=CK，
∵MK²+CK²=AM²，
∴PM²+AP²=AM²，
∴∠APM=90°，
∵∠MAD=30°，∠DAP=∠DCK=30°，
∴∠MAP=60°，
∴∠AMP=30°，
∴AM=2AP，MP=√(3)AP，
∴AM=2CK，MP=√(3)CK，
∴m=(2CK+CK)/(√(3)CK)=√(3)；
∵△MDP≌△MDK，
∴∠KMD=∠PMD=(180°−30°)/(2)=75°，
∴∠MKD=180°-75°-60°=45°，
而∠MKD=∠KCD+∠CDK，
∴∠CDK=45°-30°=15°，即∠CDF=15°．
故答案为1，2；15；√(3)．