如图过M(2,0)作直线l交抛物线y平方等于2x于AB两点(1)若l的斜率为－1求绝对值AB(2)求证:无论AB的位置如何变化都有OA垂直OB

Question

如图过M(2,0)作直线l交抛物线y平方等于2x于AB两点(1)若l的斜率为－1求绝对值AB(2)求证:无论AB的位置如何变化都有OA垂直OB

Answer 1

AB:y=-x+b
0=-2+b
b=2
y=-x+2
x^2-6x+4=0
x1+x2=6
x1x2=4
|AB|=√2√20=2√10
当AB垂直X轴时,A(2,2),B(2,-2)有OA垂直于OB
当AB不垂直X轴时,设y=kx-2k代入y^2=2x中
K2X2-(4K2+2)X+4K2=0
X1+X2=(4K2+2)/K2
X1X2=4
y1y2=(kx1-2k)(kx2-2k)=4k2--8k2-4+4k2=-4
Koa=y1/x1
Kob=y2/x2
Koa*Kob=y1y1/x1x2=-1
所以有OA垂直OB