设m是不为0的整数,一元二次方程mx平方－（m－1）x＋1＝0有有理数根,求m的值

Question

设m是不为0的整数,一元二次方程mx平方－（m－1）x＋1＝0有有理数根,求m的值

Answer 1

mx^2-(m-1)x+1=0
令有理数解x=a/b,(a,b)=1,因x=0不为根,不妨令a为正整数.
则ma^2/b^2-(m-1)a/b+1=0
ma^2-(m-1)ab+b^2=0
m=-(b^2+ab)/(a^2-ab)=-b/a*(b+a)/(a-b)
因为(a,b)=1,所以除非a=1,否则a不能被b(a+b)整除,因此要使m为整数,有a=1
则m=-b(b+1)/(1-b)
因为1-b与b互质,与b+1最多只有公因子2,因此要使m为整数,只可能为：
1-b=1,-1.,2,-2
此时m=0,6,0,6
因m不为0,所以只能取m=6