比如x^2+bx+c=0(b,c属于整数)方程的根是不是只有整数根和无理数根?为什么?能否给出具体证明?在有根的前提下

Question

比如x^2+bx+c=0(b,c属于整数)方程的根是不是只有整数根和无理数根?为什么?
能否给出具体证明?
在有根的前提下

Answer 1

∵有根
∴x^2+bx+c=0中,b²-4c≥0
①b²-4c是整数k的平方,
若b是奇数,则k为奇数,-b±k是偶数,x=(-b±k)/2是整数
若b是偶数,则k为偶数,-b±k是偶数,x=(-b±k)/2是整数
②b²-4c是整数,但不是整数k的平方,√（b²-4c)就是无理数,x=[-b±√(b²-4c)]/2是无理数
∴综上,方程的根只有整数根和无理数根