F是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2AF=FB，则C的离心率是（）A.2B.2C.233D.143

Question

F是双曲线C：

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B．若2

AF

=

FB

，则C的离心率是（　　）

A.

√(2)

B. 2

C.

(2√(3))/(3)

D.

(√(14))/(3)

Answer 1

由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=(b)/(a)x，
则另一渐近线OB的方程为 y=-(b)/(a)x，
设A（m，(bm)/(a)），B（n，-(bn)/(a)），
∵2

AF

=

FB

，
∴2（c-m，-(bm)/(a)）=（n-c，-(bn)/(a)），
∴2（c-m）=n-c，-(2bm)/(a)=-(bn)/(a)，
∴m=(3)/(4)c，n=(3c)/(2)，
∴A（(3c)/(4)，(3bc)/(4a) ）．
由FA⊥OA可得，斜率之积等于-1，即 ((3bc)/(4a)-0)/((3c)/(4)-c)•(b)/(a)=-1，
∴a²=3b²，∴e=(c)/(a)=(√(a2+b2))/(a)=(2√(3))/(3)．
故选C．