在平面直角坐标系xOy中,F1(-4,0),F2(4,0).P是平面上一点,使三角形PF1F2的周长为18（1） 求点P的轨迹方程（2）若(1)中的轨迹上有点MN,求四边形MF1NF2面积的最大值,并求出M的坐标

Question

在平面直角坐标系xOy中,F1(-4,0),F2(4,0).P是平面上一点,使三角形PF1F2的周长为18
（1） 求点P的轨迹方程
（2）若(1)中的轨迹上有点MN,求四边形MF1NF2面积的最大值,并求出M的坐标

Answer 1

易知F1F2=8,即PF1+PF2=10,这明显就是椭圆的定义
由椭圆定义可知c=8/2=4,a=10/2=5
所以由b^2+c^2=a^2得b=3
所以轨迹方程是x^2/25+y^2/9=1
第二题可将四边形分成三角形F1F2M和三角形F1F2N
于是四边形面积变成1/2*F1F2*yM+1/2*F1F2*yN=4(yM+yN),其中yM和yN表示M,N纵坐标的绝对值
易知他们的最大值是3,所以面积最大值是24
此时M,N分别是椭圆的上下顶点,
所以M(0,3)或者是(0,-3)