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已知一个集合是孤立点集,如何证明它是一个至多可数集
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已知一个集合是孤立点集,如何证明它是一个至多可数集
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答案和解析
假定你的孤立点集S是R^n的子集,那么对S中的每个点x,存在唯一的最大开球B(x),使得这个开球不包含S中的其它点.
做映射x->R(x),R(x)是B(x)中所有有理点的全体,那么显然有S的势不超过所有有理点的势,至多可数.
注：上述构造是确定存在的,不依赖于选择公理.
做映射x->R(x),R(x)是B(x)中所有有理点的全体,那么显然有S的势不超过所有有理点的势,至多可数.
注：上述构造是确定存在的,不依赖于选择公理.
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