定义在[-1，1]上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，1]时，f（x）=2x4x+1．（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性，并给予证明；（3）当实数λ为何值时，关于

Question

定义在[-1，1]上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，1]时，f（x）=(2x)/(4x+1)．
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性，并给予证明；
（3）当实数λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[-1，1]上有解？

Answer 1

（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=−(2−x)/(4−x+1)=−(2−x4x)/(4−x4x+4x)=−(2x)/(4x+1)
由f（0）=f（-0）=-f（0），f（0）=0
∴在区间[-1，0]上，有f（x）=

−(2x)/(4x+1)，x∈[−1，0)

0，x＝0

；
（2）证明：当x∈（0，1]时，f（x）=(2x)/(4x+1)，设0＜x₁＜x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=(2x1)/(4x1+1)−(2x2)/(4x2+1)=((2x2−2x1)(2x1+x2−1))/((4x1+1)(4x2+1))，
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴2^x₂-2^x₁＞0，2^x₂+x₁-1＞0，又（4^x₁+1）（4^x₂+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1]上单调递减；
（3）f（x）=λ在[-1，1]上有实数解，转化为λ=f（x）在[-1，1]上有实数解，
f（x）在（0，1]上单调递减，∴f（x）在（0，1]上的值域为[(2)/(5)，(1)/(2)），
又函数f（x）是奇函数，∴f（x）在[-1，0）上的值域为（-(1)/(2)，-(2)/(5)]，
故f（x）在[-1，1]上的值域为为[(2)/(5)，(1)/(2)）∪（-(1)/(2)，-(2)/(5)]∪{0}，
∴实数λ的取值范围为[(2)/(5)，(1)/(2)）∪（-(1)/(2)，-(2)/(5)]∪{0}．