已知，函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当有两个极值点（设为和）时，求证：.

Question

已知 ，函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 有两个极值点（设为 和 ）时，求证： .

Answer 1

已知 ，函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 有两个极值点（设为 和 ）时，求证： .

（1）详见解析；（2）详见解析.

试题分析：（1）先求出函数 的导函数 ，确定导数的符号，实质上就是确定分子 的正负，从而确定函数 在定义域上的单调性，即对分子的 的符号进行分类讨论，从而确定 的符号情况，进而确定函数 在定义域上的单调性；（2）根据 、 与 之间的关系，结合韦达定理得出 以及 的表达式，代入所证的不等式中，利用分析法将所要证的不等式转化为证明不等式 ，利用作差法，构造新函数 ，利用导数围绕 来证明.
试题解析：（1） ，
，考虑分子
当 ，即 时，在 上， 恒成立，此时 在 上单调递增；
当 ，即 时，方程 有两个解不相等的实数根： ， ，显然 ，
当 或 时， ；当 时， ；
函数 在 上单调递减，
在 和 上单调递增.
（2） 、 是 的两个极值点，故满足方程 ，
即 、

作业帮用户 2017-09-26 举报

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