复合函数单调性问题,思路?已知函数f(x)=8+2x-x^2,g(x)=f(2-x^2),试求g(x)的单调区间.解决这类问题先怎么算,然后怎么算,同增异减我知道,但区间应该怎么求呢?求每一步的过程,请大师指点下,刚接触

Question

复合函数单调性问题,思路?
已知函数f(x)=8+2x-x^2,g(x)=f(2-x^2),试求g(x)的单调区间.
解决这类问题先怎么算,然后怎么算,同增异减我知道,但区间应该怎么求呢?
求每一步的过程,请大师指点下,刚接触复合函数.不要用求导,因为没学过,貌似有4个单调区间,我该如何去判断呢?为啥?

Answer 1

f(x)=8+2x-x²=-（x-4）(x+2)
故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(x²+2) ²+6( x²+2)
令t= x²+2,故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)²+9,对称轴t=3
当t=3时,x=±1；而t= x²+2的对称轴x=0
故：增减性分四步讨论
①x∈（-∞,-1]时,t= x²+2单调递减,此时t≥3,故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递减,故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递增
故：x∈（-∞,-1]时,g(x)单调递增
②x∈[-1,0]时,t= x²+2单调递减,此时t≤3,故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递增,故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递减
故：x∈[-1,0]时,g(x)单调递减
③x∈[0,1]时,t= x²+2单调递增,此时t≤3,故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递增,故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递增
故：x∈[0,1]时,g(x)单调递增
④x∈[1,+∞）时,t= x²+2单调递增,此时t≥3,故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递减,故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递减
故：x∈[1,+∞）时,g(x)单调递减
但愿没有计算、分析上的失误（以上全部心算的）,但方法如此