（2012•上海二模）设双曲线x24-y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、Pn是其右上方一段（2≤x≤25，y≥0）上的点，线段|PkF|的长度为ak，（k=1，2，3，…，n）．若数列{an}成等差数列且公差d∈（15，5

Question

（2012•上海二模）设双曲线(x2)/(4)-y²=1的右焦点为F，点P₁、P₂、…、P_n是其右上方一段（2≤x≤2√(5)，y≥0）上的点，线段|P_kF|的长度为a_k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a_n}成等差数列且公差d∈（(1)/(5)，(√(5))/(5)），则n最大取值为______．

Answer 1

由题意，得a²=4，b²=1，c=√(a2+b2)=√(5)，可得 双曲线 的右准线为：x=(a2)/(c)，即x=(4√(5))/(5)
设P_k坐标为（x_k，y_k），P_k到右准线的距离为d_k（k=1，2，3，…，n），
根据双曲线的第二定义，得(|PkF|)/(dk)=e=(√(5))/(2)，
∴|P_kF|=(√(5))/(2)d_k=(√(5))/(2)（x_k-

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作业帮用户 2017-10-23 举报

问题解析

根据双曲线的第二定义，可得|P_kF|的长度a_k=(√(5))/(2)x_k-2，结合题意2≤x_k≤2√(5)得n取最大值时d=(5−√(5))/(n−1)，再解不等式(1)/(5)＜(5−√(5))/(n−1)＜(√(5))/(5)，找出它的最大整数解，即得n的最大值．

名师点评

本题考点：

双曲线的简单性质；等差数列的通项公式．

考点点评：

本题以双曲线为载体，在它的n条焦半径成等差数列并知道公差范围的情况下，求项数n的最大值，着重考查了双曲线的简单几何性质和等差数列的通项公式等知识，属于中档题．

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