设f（x）有二阶导数，且f′（x）≠0，x=g（y）与y=f（x）互为反函数，试用f′（x），f″（x）来表示g′（y），g″（y）．

Question

设f（x）有二阶导数，且f′（x）≠0，x=g（y）与y=f（x）互为反函数，试用f′（x），f″（x）来表示g′（y），g″（y）．

Answer 1

由题意可知：
x=g（y）与y=f（x）互为反函数，
故：g′(y)＝(1)/(f′(x))
g″(y)＝(d)/(dy)g′(y)＝(d)/(dy)(1)/(f′(x))＝(d)/(dx)(1)/(f′(x))(dx)/(dy)＝−(f″(x))/(f′(x)2)(1)/(f′(x))＝−(f″(x))/(f′(x)3)