设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有tanA+tanC3=sinBcosC．（1）求cosA的值；（2）若b=2，c=3，D为BC上一点．且CD=2DB，求AD的长．

Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有(tanA+tanC)/(3)=(sinB)/(cosC)．
（1）求cosA的值；
（2）若b=2，c=3，D为BC上一点．且

CD

=2

DB

，求AD的长．

Answer 1

（1）∵(tanA+tanC)/(3)=(sinB)/(cosC)，
∴(sinA)/(cosA)+(sinC)/(cosC)=(3sinB)/(cosC)，
去分母得：3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴3cosA=1，
∴cosA=(1)/(3)；
（2）∵b=2，c=3，
∴a²=b²+c²-2bccosA=9，
∴|BC|=a=3，
∵

CD

=2

DB

，
∴|DC|=2，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(9+4-9)/(12)=(1)/(3)，
∴|AD|²=2²+2²-2×2×2cosC=(16)/(3)，
∴|AD|=(4√(3))/(3)．