经过点M（-2，-4）且倾斜角为45°的直线l与抛物线C：y2=2px（p>0）交于A、B两点，|MA|、|AB|、|BM|成等比数列．（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）求p的值．

Question

经过点M（-2，-4）且倾斜角为45°的直线l与抛物线C：y²=2px（p>0）交于A、B两点，|MA|、|AB|、|BM|成等比数列．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程；
（Ⅱ）求p的值．

Answer 1

（Ⅰ）过点M（-2，-4）且倾斜角为45°，设参数为t，则直线l的参数方程为

x=-2+(√(2))/(2)t

y=-4+(√(2))/(2)t

（t为参数）．
（Ⅱ）把参数方程代入y²=2px，得t2-(2√(2)p+8√(2))t+32+8p=0，t1+t2=2√(2)p+8√(2)，t₁t₂=32+8p，
根据直线参数的几何意义，可得|MA||MB|=|t₁t₂|=32+8p，
那么：|AB|2=(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=(2√(2)p+8√(2))2-4(32+8p)=8p(p+4)，
∵|MA|、|AB|、|BM|成等比数列，
∴|AB|²=|MA||MB|，8p（p+4）=32+8p，p>0．
故得p=1．