已知直线l过点M(0,1),倾斜角为α,与抛物线y²=x交于A,B两点,若α=3/4π,写出直已知直线l过点M(0,1),倾斜角为α,与抛物线y²=x交于A,B两点,(1)若α=3/4π,写出直线L的参数方程,并求线段AB的长和点M

Question

已知直线l过点M(0,1),倾斜角为α,与抛物线y²=x交于A,B两点,若α=3/4π,写出直
已知直线l过点M(0,1),倾斜角为α,与抛物线y²=x交于A,B两点,
(1)若α=3/4π,写出直线L的参数方程,并求线段AB的长和点M到A,B的距离之积
（2）若|MB|=2|MA|,求tanα的值.

Answer 1

（1）直线L的参数方程为
{ x=tcos3π/4=-√2/2t
{y=1+tsin3π/4=1+√2/2t
将直线参数方程x,y代入y²=x
(1+√2/2t)²=-√2/2t
即t²+3√2t+2=0
设A,B所对应的参数值分别为t1,t2,
则 t1+t2=-3√2,t1t2=-2
又|MA|=|t1|,|MB|=|t2|
∴|AB|=|t1-t2|=√[(t1+t2)²-2t1t2]=√22
|MA|*|MB|=|t1t2|=2
(2)
直线L的参数方程为
{ x=tcosα {y=1+tsinα
代入 y²=x得 （1+tsinα)²=tcosα
即t²sin²α+(2sinα-cosα)t+1=0
∴ t1+t2=(cosα-2sinα)/sin²α
t1t2=1/sin²α>0
∵|MB|=2|MA|,∴t2=2t1
∴3t1=(cosα-2sinα)/sin²α
2t1²=1/sin²α
∴9/2=(cosα-2sinα)²/sin²α
∴9sin²α=2(cos²α+4sin²α-4sinαcosα)
sin²α+8sinαcosα-2cos²α=0
tan²α+8tanα-2=0
∴tanα=-4±√14