定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4直接写出BN

Question

定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4直接写出BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG∥BC，点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连接AD、AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C、D是线段AB的勾股分割点（要求简单说明作图过程，保留作图痕迹，画出一种情形即可）

Answer 1

（1）当MN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BM=√(MN2-AM2)=√(16-9)=√(7)，
当BN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=√(MN2+AM2)=√(16+9)=5，
综上，BN=√(7)或5；
（2）证明：∵FG∥BC，
∴(FM)/(BD)=(AM)/(MD)=(MN)/(DE)=(AN)/(NE)=(GN)/(CE)=k．
∴FM=kBD，MN=kDE，GN=kCE．
∴EC²=BD²+DE²，
∴(1)/(k2)GN²=(1)/(k2)FM²+(1)/(k2)MN²，
∴NG²=FM²+MN²．
∴点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如图2所示．