将一个棱长十厘米,表面积涂满红色的正方体切成48个小长方体,每个小长方体的大小完全相同.这些小长体没有被涂上红色的所有表面的表面积之和最小是多少平方厘米?最多是多少平方厘米?

Question

将一个棱长十厘米,表面积涂满红色的正方体切成48个小长方体,每个小长方体的大小完全相同.这些小长
体没有被涂上红色的所有表面的表面积之和最小是多少平方厘米?最多是多少平方厘米?

Answer 1

要使分出的小长方体大小都相同,正方体的3条棱必须被等分,设3条棱分别被等分为a段,b段和c段,abc=48,长方体的3条棱棱长是10/a,10/b,10/c,每个长方体的表面积是2(10/a*10/b+10/a*10/c+10/b*10/c)=200(1/ab+1/ac+1/bc)=200(c/48+b/48+a/48)=25(a+b+c)/6 没有被涂上红色的所有表面的表面积之和为S=48*25(a+b+c)/6-6*10*10=200(a+b+c)-600,a,b,c都必须是正整数,它们的数值只有几种可能：1.1,48 1,2,24 1,3,16 1,4,12 1,6,8 2,2,12 2,3,8 2,4,6 3,4,4 当a+b+c最大时S最大,当a+b+c最小时S最小,显然3,4,4时S最小,1,1,48时S最大,因此没有被涂上红色的所有表面的表面积之和最小是200(3+4+4)-600=1600平方厘米 最多是200(1+1+48)-600=9400平方厘米