无限循环小数都可以化成分数吗

Question

无限循环小数都可以化成分数吗

Answer 1

无限循环小数可以化成分数
我们知道小数分为两大类：一类是有限小数,一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……,很容易化为分数．无限不循环小数即无理数,它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数,下面请看：
探索（1）：把0.323232……（即0.3(·)2(·)）化成分数．
分析：设x=3(·)2(·)=0.32+0.0032+0.000032+…… ①
上面的方程两边都乘以100得100x=32+0.32+0.0032+0.000032+…… ②
②-①得
100x-x=3299x=32x= 99(32)
所以0323232……= 99(32)
用同样方法,我们再探索把0.5(·),0.3(·)02(·)化为分数．可知0.5(·)= 9(5),0.3(·)02(·)=999(302)．我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数,通过上面的探索可以发现,纯循环小数的循环节最少位数是几,化成分数的分母就有几个9组成,分子恰好是一个循环节的数字．
探索（2）：把0.4777……和0.325656……化成分数
分析：把小数乘以10得0.4777……×10=4.777…… ①
再把小数乘以100得0.4777……×100=47.77…… ②
②-①得0.4777……×100-0.4777……×10=47- 40.4777……×90=430.4777……= 90(43)所以 0.4777……=90(43)
再分析第二个数0.325656……化成分数．
把小数乘以100得0.325656……×100=32.5656…… ①
把小数×10000得0.325656……×10000=3256.56…… ②
②-①得0.325656……×（10000-100）=3256-320.325656……×9900=3224∴0.325656……=9900(3224)
同样的方法,我们可化0.172(·)5(·)=9900(1708),0. 32(·)9(·)=990(326)．我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n,分母中就有n个9,第一个循环节前有几位小数,分母中的9后面就有几个0,分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数,减去一个循环节数字的差,例如0.172(·)5(·)化成分数的分子是1725-17=1708,0. 32(·)9(·)化成分数的分子是329-3=326．