如图,AB是圆O上的一条弦,点C是圆O上的一动点,且知道角ACB=30度,点E、F分别是AC、AB上的中点,直线EF与圆O交于G、H两点,若圆O半径为7,则GE+FH的最大值为多少?

Question

如图,AB是圆O上的一条弦,点C是圆O上的一动点,且知道角ACB=30度,点E、F分别是AC、AB上的中点,直线EF与圆O交于G、H两点,若圆O半径为7,则GE+FH的最大值为多少?

Answer 1

由于点E、F分别是AC、AB上的中点,
在三角形ABC中,中位线EF=AB/2
GE+FH=GH-EF=GH-AB/2
由于AB是不变的,当GH最长时,GE+FH有最大值
而在圆中,GH最长为直径,

∴当GH为直径时,GE+FH为最大值

角C=30,角O=2角C=60
而 三角形ABO有两条边 BO,AO 是圆半径
∴三角形ABO是等腰三角形,而角O=60
∴三角形ABO是等边三角形,∴AB=7
GE+FH为最大值=GH-AB/2=14-7/2=10.5