已知{an}是等比数列，如果limn→∞（a1+a2+…+an）=2，且a3，a5，a6成等差数列，则a1=．

Question

已知{a_n}是等比数列，如果

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）=2，且a₃，a₅，a₆成等差数列，则a₁=___．

Answer 1

由题意可得数列的公比q满足0<|q|<1，
∴

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）=(a1)/(1-q)=2，①
又a₃，a₅，a₆成等差数列，
∴2a₅=a₃+a₆，即2a₁q⁴=a₁q²+a₁q⁵，②
由②可得q³-2q²+1=0，即q³-q²-q²+1=0，
分解因式可得q²（q-1）-（q+1）（q-1）=0，
即（q-1）（q²-q-1）=0，
结合q的范围可解得q=(1-√(5))/(2)
代入①可得a₁=1+√(5)
故答案为：1+√(5)