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(2013•南京)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.(1)求证:∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.
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(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵对角线BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB;
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°,
∵∠ADC=90°,
∴四边形MPND是矩形,
∵∠ADB=∠CDB,
∴∠ADB=45°
∴PM=MD,
∴四边形MPND是正方形.
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,

|
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB;
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°,
∵∠ADC=90°,
∴四边形MPND是矩形,
∵∠ADB=∠CDB,
∴∠ADB=45°
∴PM=MD,
∴四边形MPND是正方形.
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