假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其他星体对它们的引力作用可忽略．已知稳定的四星系统存在两种基本构成形式：一种形式是四颗星稳定的

Question

假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其他星体对它们的引力作用可忽略．已知稳定的四星系统存在两种基本构成形式：
一种形式是四颗星稳定的分布在边长为a正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆轨道运行；
另一种形式是三颗星位于边长也为a等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每颗星体的质量均为m，万有引力常数为G，试分别求出这两种情况下四星系统的运动周期T₁与T₂．

Answer 1

对于第一种形式：星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径半径r₁=(√(2))/(2)a
由万有引力定律和向心力公式得：G(m2)/(2a2)+2(Gm2)/(a2)cos45°＝m(4π2)/(T12)r1
解得：T₁=2πa√((2a)/((4+√(2))Gm))①
对于第一种形式：
其轨道半径为r₂=(√(3))/(3)a
由万有引力定律和向心力公式得：(Gm2)/(r22)+2(Gm2)/(a2)cos30°＝m(4π2)/(T22)r2
解得：T₂=2πa√((a)/(3(1+√(3))Gm))②
由①②解得：(T1)/(T2)=√((3(1+√(3))(4−√(2)))/(7))
答：这两种情况下四星系统的运动周期之比为√((3(1+√(3))(4−√(2)))/(7))．