如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.

Question

如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx- (1+k ² )x ² (k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

Answer 1

(1)10千米   (2)当a不超过6千米时,可击中目标

解:(1)令y=0,得kx- (1+k ² )x ² =0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,
故x= = ≤ =10,当且仅当k=1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka- (1+k ² )a ² 成立⇔关于k的方程a ² k ² -20ak+a ² +64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a) ² -4a ² (a ² +64)≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时,可击中目标.