N*为全体正整数的集合,是否存在一一映射φ:N*N*满足条件：对一切k∈N*,都有k|(φ(1)+φ(2)+……+φ(k))证明你的结论.注:映射φ:A→B称为一一映射,如果对任意bB,有且只有一个aA使得φ(a)=b.

Question

N*为全体正整数的集合,是否存在一一映射φ:N* N* 满足条件：对一切k∈N*,都有k | (φ(1)+φ(2)+……+φ(k))
证明你的结论 .
注:映射φ:A→B 称为一一映射,如果对任意 b B,有且只有一个 a A 使得 φ(a)=b .题中“|”为整除符号.

Answer 1

解 存在.对n 归纳定义φ(2n－1)及φ(2n) 如下：
令φ(1)=1,φ(2)=3 .设已定义出不同的正整数值φ(k) (1≤k≤2n)满足整除条件且包含 1,2,…,n ,设v=min N*\{φ(1),…,φ(2n)},由于2n+1与2n+2互素,根据孙子定理,存在不同于v及φ(k) (1≤k≤2n)的正整数u满足同余式组
U≡－S2n(mod 2n+1)≡－S2n－v (mod 2n+2) .
定义φ(2n+1)=u,φ(2n+2)=v .则正整数φ(k) (1≤k≤2n+2 )也互不相同,满足整除条件,且包含1,2,…,n+1 .根据数学归纳法原理,已经得到符合要求的一一映射.
φ：N* →N*.