如图所示为利用静电除烟尘的通道示意图，前、后两面为绝缘板，上、下两面为分别与高压电源的负极和正极相连的金属板，在上下两面间产生的电场可视为匀强电场，通道长L=1m，进烟尘口

Question

如图所示为利用静电除烟尘的通道示意图，前、后两面为绝缘板，上、下两面为分别与高压电源的负极和正极相连的金属板，在上下两面间产生的电场可视为匀强电场，通道长L=1m，进烟尘口的截面为边长d=0.5m的正方形．分布均匀的带负电烟尘颗粒均以水平速度v₀=2m/s连续进入通道，碰到下金属板后其所带电荷会被中和并被收集，但不影响电场分布．已知每立方米体积内颗粒数n=10¹³个，每个烟尘颗粒带电量为q=-1.0×10^-17C，质量为m=2.0×10^-15kg，忽略颗粒的重力、颗粒之间的相互作用力和空气阻力．

（1）高压电源电压U₀=300V时，求被除去的烟尘颗粒数与总进入烟尘颗粒数的比值
（2）若烟尘颗粒恰好能全部被除去，求高压电源电压U₁
（3）装置在（2）中电压U₁作用下稳定工作时，1s内进入的烟尘颗粒从刚进入通道到被全部除去的过程中，求电场对这些烟尘颗粒所做的总功．

Answer 1

（1）颗粒在运动中做类平抛运动，由牛顿第二定律有：(qU0)/(d)=ma，
在水平方向上有：L=v₀t，在竖直方向上有：y=(1)/(2)at²，解得：y=0.375m；
即为距离下金属板的距离小于等于0.375m内的颗粒将打到下金属板上，
被除去的烟尘颗粒数与总进入烟尘颗粒数的比值为：η=(y)/(d)=(3)/(4)；
（2）若烟尘颗粒恰好能全部被除去，紧贴上金属板射入的颗粒恰能打到下金属板上，颗粒做平抛运，
在竖直方向上有：d=(1)/(2)a₁t²    (qU1)/(d)=ma₁ 解得：U=400V；
（3）1s内颗粒的总个数为：N=nd²v₀t₁
电场力对每个颗粒所做的功与其到下金属板的偏移量y成正比，
平均值等于电场距离下金属板(d)/(2)处的颗粒所做的功，做功：W=N(qU1)/(d)(d)/(2)，
解得：W=0.01J；
答：（1）高压电源电压U₀=300V时，被除去的烟尘颗粒数与总进入烟尘颗粒数的比值为(3)/(4)；
（2）若烟尘颗粒恰好能全部被除去，高压电压U₁为400V
（3）电场对这些烟尘颗粒所做的总功为0.01J．