f(x)在[a,+∞)上连续,且limx→∞f(x)存在证明其一致连续

Question

f(x)在[a,+∞)上连续,且limx→∞f(x)存在 证明其一致连续

Answer 1

设limf﹙x﹚＝A ﹙x趋于无穷大﹚
∴任意ε 存在X＞A 当x＞X时 ｜f﹙x﹚－A｜＜ε/4 ∴对任意x₁、x₂∈﹙X,﹢∞﹚ 有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜≤｜f﹙x₁﹚－A｜＋｜f﹙x₂﹚－A｜＜ε/2
由康托定理 f﹙x﹚在[a,X]一致连续 因而存在δ＜X－a 使｜x₁－x₂｜＜δ,x₁,x₂∈[a,X]时 ｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2
从而对任意x₁,x₂∈[a,﹢∞﹚只要｜x₁－x₂｜＜δ 就有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2＋ε/2＝ε
∴其一致连续