奇趣的几何问题.画圆.只用直尺,圆规,将已知的圆,任意画出面积是已知圆的整倍数的圆来.任意倍数，如2，6这样的整倍数。重要是找出规律，而不是某种巧合。任意整倍数。lkqm5566的回答：连

Question

奇趣的几何问题.画圆.
只用直尺,圆规,将已知的圆,任意画出面积是已知圆的整倍数的圆来.
任意倍数，如2，6这样的整倍数。重要是找出规律，而不是某种巧合。任意整倍数。
lkqm5566的回答：连接BC：则BC = 根号5，（这里如何得来）以B为圆心，BC为半径画圆，就是5倍的面积！如何求证，证明这是对的

Answer 1

你会用尺规作垂线吧?那就比较好解决了~
任意倍数的话,难点在于构造新的半径：
以5倍为例子吧,需要找到新的半径根号5（设原有半径为1）
记已知圆为圆O,圆上任意一点为A
先以A为圆心,AO为半径,画一个圆,在连接AO,作直线,交圆A于B
这时：OB=2
再用尺规作垂线的方法,做出CO,使得CO垂直于BO,且C是圆O上一点,
这时：OC=1,
连接BC：则BC = 根号5,以B为圆心,BC为半径画圆,就是5倍的面积!
同理：对于任意倍,比如为k,先拆成 k = 1+(k-1)
若k-1是一个数的平方,就画出这个数就行（如上述OB）
若k-1不是平方,则继续拆成k-1 = 1 + (k-2),直到拆成某一个数平方
例如6 = 1 + 5,做出上述BC后,可以再做DC,使得DC垂直BC,且DC=1,那么BD=根号6
如此,任意倍数都能实现了~
作垂线的方法：
补充：
因为我们假设已知半径为1了（并没有说它是1cm,只是1个单位）,最终要的只是一个比值,所以后面所说的根号5,其实只是表面是原有半径的根号5倍,若记原有半径为r,那么新的半径就是（根号5）*r
那么新的圆的面积 = π*[（根号5）*r]的平方 = 5 πr平方
而原有面积 = πr平方
所以即为5倍
根号5是因为我们前面所说的OB,OC,BC已构成直角三角形!由勾股定理,即可得到~