观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+2592=40+41…这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132=+；（2）请写出你发现的规律；（3）结合勾

Question

观察下列各式，你有什么发现？
3 ² =4+5，5 ² =12+13，7 ² =24+25   9 ² =40+41…这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？
（1）填空：13 ² =______+______；
（2）请写出你发现的规律；
（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．

Answer 1

（1）13 ² =b+c，这是第6个式子，
故13 ² = (1 32 -1)/(2) + (1 32 +1)/(2) =84+85；
（2）规律为：（2n+1） ² =（ ((2n+1 )2 -1)/(2) ）+（ ((2n+1 )2 +1)/(2) ）．

（3）（ ((2n+1 )2 +1)/(2) ） ² -（ ((2n+1 )2 -1)/(2) ） ²
=[（ ((2n+1 )2 -1)/(2) ）+（ ((2n+1 )2 +1)/(2) ）][（ ((2n+1 )2 -1)/(2) ）-（ ((2n+1 )2 +1)/(2) ）]
=（2n+1） ² ．
即三个数是勾股数．