（2011•韶关模拟）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元/本（9≤

Question

（2011•韶关模拟）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元/本（9≤x≤11），预计一年的销售量为（20-x）²万本．
（1）求该出版社一年的利润L（万元）与每本书的定价x的函数关系式；
（2）当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L最大，并求出L的最大值R（m）．

Answer 1

（1）该出版社一年的利润L（万元）与每本书定价x的函数关系式为：L=（x-5-m）（20-x）²，x∈[9，11]．…（4分）
（2）求导函数可得L′（x）=（20-x）（30+2m-3x）．…（6分）
令L′=0得x=10+(2)/(3)m或x=20（不合题意，舍去）．…（7分）
∵1≤m≤3，∴(32)/(3)≤10+(2)/(3)m≤12．
在x=10+(2)/(3)m两侧L′的值由正变负．
所以①当(32)/(3)≤10+(2)/(3)m＜11，即1≤m＜(3)/(2)时，L_max=L（10+(2)/(3)m）=4（5-(m)/(3)）³．…（9分）
②当11≤10+(2)/(3)m≤12，即(3)/(2)≤m≤3时，L_max=L（11）=81（6-m），…（11分）
所以R（m）=

4(5−(m)/(3))3，1≤m＜(3)/(2)

81(6−m)，(3)/(2)≤m≤3

答：若1≤m＜(3)/(2)，则当每本书定价为10+(2)/(3)m元时，出版社一年的利润L最大，最大值R（m）=4（5-(m)/(3)）³（万元）；若(3)/(2)≤m≤3，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润L最大，最大值R（m）=81（6-m）（万元）．…（14分）