在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在轴上截得线段长为.（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程;（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程.

Question

在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2 ，在 轴上截得线段长为 .
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程;
（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为 ，求圆P的方程.

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ） 或

（Ⅰ）设 圆P的半径为 ，由题设 ， ，从而 .
故P点的轨迹方程为
（Ⅱ）由题意可知， ，即 ，又由（Ⅰ）知 ，所以解得 ，
当 时， ， ，此时圆P的方程为 或 ；
当 时，因为 ，所以不合题意，
综上所述，圆P的方程为 或
本题第（Ⅰ）问，设圆心 然后由圆中的重要直角三角形结合已知条件列出两个等式，化简即可得到;第（Ⅱ）问,由点到直线的距离公式可得出 ，再结合（Ⅰ），即可求出圆心P的坐标与圆的半径，从而写出圆的方程.对第（Ⅰ）问，一部分同学不知道如何下手,想不到那个圆中的重要直角三角形，所以在复习时，要多注意规律方法的总结；第（Ⅱ）问,容易漏解，所以在日常复习时，要加强计算能力.
【考点定位】本小题主要考查轨迹方程的求解、圆的方程的求法，考查分类讨论思想、转化与化归思想，考查分析问题与解决问题的能力.