已知抛物线（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：x…―103……00…（1）求y1与x之间的函数关系式；（2）

Question

已知抛物线 （a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y ₁ 的部分对应值如下表所示：

x	…	―1	0	3	…
	…	0		0	…

（1）求y ₁ 与x之间的函数关系式；
（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y ₂ ）．
①求y ₂ 与x之间的函数关系式；
②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y ₁ ＜y ₂ 恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

已知抛物线 （a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y ₁ 的部分对应值如下表所示：

x	…	―1	0	3	…
	…	0		0	…

（1）求y ₁ 与x之间的函数关系式；
（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y ₂ ）．
①求y ₂ 与x之间的函数关系式；
②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y ₁ ＜y ₂ 恒成立，求t的取值范围．

（1） ；（2）① ；
②可以使y ₁ ＜y ₂ 恒成立的t的取值范围是t≥ ．

试题分析：（1）先根据物线经过点（0， ）得出c的值，再把点（－1，0）、（3，0）代入抛物线y ₁ 的解析式即可得出y ₁ 与x之间的函数关系式.
（2）先根据（I）中y ₁ 与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标．
①记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以 ，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y ₂ ），故 ， ，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y ₂ 与x之间的函数关系式.
②据题意，借助函数图象：
当抛物线y ₂ 开口方向向上时，可知6－2t＞0，即t＜3时，抛物线y ₁ 的顶点M（1，3），抛物线y ₂ 的顶点（1，  ），由于3＞ ，所以不合题意.
当抛物线y ₂ 开口方向向下时，6－2t＜0，即t＞3时，求出 的值.若3t－－11≠0，要使y ₁ ＜y ₂ 恒成立，只要抛物线 方向向下及且顶点（1，  ）在x轴下方，因为3－t＜0，只要3t－11＞0，解得t＞ ，符合题意；若3t－11=0， ，即t= 也符合题意.
试题解析：（1）∵抛物线经过点（0， ），∴c= .∴ .
∵点（－1，0）、（3，0）在抛物线 上，
∴ ，解得 .
∴y ₁ 与x之间的函数关系式为： .
（2）∵ ，∴ .
∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．
①由题意得，t≠3，
如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），

作业帮用户 2017-09-28 举报

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议