如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴与A点，交x轴与B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，－5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂

Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y轴与A点，交x轴与B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，－5）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（１）∵抛物线的顶点为（3，4），∴可设此抛物线的解析式为： 。
∵此抛物线过点A（0，－5），∴ ，解得 。
∴此抛物线的解析式为： ，即 。
（２）此时抛物线的对称轴与⊙C相离。证明如下：
令 ，即 ，得ｘ=1或ｘ=5，
∴B（1，0）,C（5，0）。
令ｘ=1，得 ，∴A（0，－5）。
如图，过点C作CE⊥BD于点E，作抛物线的对称轴交ｘ轴于点F，

∵AB⊥BD，∴∠ABO=90 ⁰ －∠ABO=∠CBE。
∵∠AOB=∠BEC=90 ⁰ ，∴△AOB∽△BEC。
∴ 。
又∵OB=1，OA=5，∴根据勾股定理，得 。
又∵BC=4，∴ ，即 。
∵CF=2，∴ ，即 。
∴抛物线的对称轴与⊙C相离。
（3）存在。
假设存在满足条件的点 ，
∵点 在抛物线 上，∴ 。
又 ，
，
。
①当∠A=90 ⁰ 时，在 中，由勾股定理，得  ，
∴ ，整理，得 。
∴ ，解得 或 ，∴ 或 。
∴点P为（7，－12）或（0，－5）（舍去）。
②当∠C=90 ⁰ 时，在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ，整理，得 。
∴ ，解得 或 ，∴ 或 。
∴点P为（2，3）或（5，0）（舍去）。
综上所述，满足条件的点P的坐标为（7，－12）或（2，3）。

（1）由于已知抛物线的顶点为（3，4），故应用待定系数法，设顶点式求解。
（2）过点C作CE⊥BD于点E，应用△AOB∽△BEC求得CE的长，与点C到抛物线的对称轴的距离比较即可。
（3）用点P的横坐标表示三边的长，分∠A=90 ⁰ 和∠C=90 ⁰ 两种情况讨论即可。