如图，抛物线y=ax2+3x+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段P

Question

如图，抛物线y=ax²+3x+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；
（3）当PQ的长度取最大值时，PQ与x轴交点记为D，在x轴上是否存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形与△BQD相似？如果存在，直接写出E点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+3x+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴

a-3+c=0

16a+12+c=0

，解得：

a=-1

c=4

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4．

（2）当x=0时，y=-x²+3x+4=4，
∴C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（4，0）、C（0，4）代入y=kx+b，

4k+b=0

b=4

，解得：

k=-1

b=4

，
∴直线BC的解析式为y=-x+4．
过点P作x轴的垂线PQ交BC于Q，如图1所示．
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，-t²+3t+4），Q（t，-t+4），
∴PQ=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t，
∴m=-t²+4t=-（t-2）²+4（0<t<4）．
∴当t=2时，m取最大值，最大值为4．

（3）①∵CO⊥x轴，QD⊥x轴，∠QBD=∠CBO，
∴△BQD∽△BCO，
∴此时点E与点O重合，即E（0，0）；
②过点C作EC⊥BC交x轴于点E，如图2所示．
∵EC⊥BC，QD⊥x轴，∠QBD=∠CBO，
∴△BQD∽△BEC．
∵B（4，0），C（0，4），
∴∠CBO=45°，
∴∠CEO=45°，
∴OE=OB，
∴E（-4，0）．
综上所述：在x轴上存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形与△BQD相似，E点坐标为（0，0）或（-4，0）．