已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．连接MN，交直线AC于点D．设AM=x，CD=y．（1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数

Question

已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．连接MN，交直线AC于点D．设AM=x，CD=y．

（1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当点M在边AB上，且四边形BCDM的面积等于△DCN面积的4倍时，求x的值．
（3）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论．

Answer 1

（1）过点M作MF∥BC交AC于F，
∴∠FMD=∠CND，∠MFD=∠NCD，∠AMF=∠B．
∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠B=60°，AB=AC=4．
∴∠AMF=∠B=60．
∴△AMF是等边三角形，
∴AM=AF=MF．
∵AM=CN，
∴MF=CN．
在△MFD和△NCD中，

∠MFD＝∠NCD

MF＝NC

∠FMD＝∠CN

，
∴△MFD≌△NCD（ASA），
∴FD=CD=y．
∴AF=4-2y，
∵AM=MF=x=4-2y，
∴y=(4−x)/(2)（0＜x＜4）；
（2）∵△MFD≌△NCD，
∴S_△MFD=S_△NCD．
∵S_{四边形BCDM}=4S_△MFD，
∴S_{四边形BCDM}=4S_△MFD，
∴S_梯形MBCF=5S_△MFD．
∵△MFD≌△NCD，
∴MF和CN边上的高相等为h，
∴梯形MBCF的高为2h．
∴((x+4)×2h)/(2)=5×(xh)/(2)，
∴x=(8)/(3)．
答：x=(8)/(3)；
（3）线段DE的长不会改变．
（i）当点M在边AB上时，点D在边AC上，
∵∠AEM=90°，∠A=60°，AM=x，∴AE=(1)/(2)x，
∴DE=4-(1)/(2)x-y=4-(1)/(2)x-（-(1)/(2)x+2）=2，
（ii）当点M在边AB的延长线上时，点D在边AC的延长线上，
过点M作MP∥AC，交直线BC于点P，
∴MP=BM=BP=x-4，
∴CP=CN=x，
∴CD=(1)/(2)x-2，
∴AD=4+(1)/(2)x-2=(1)/(2)x+2，
又∵AE=(1)/(2)x，∴DE=AD-AE=(1)/(2)x+2-(1)/(2)x=2，
综上所述，DE=2，即线段DE的长不会发生变化．