在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数

Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．

Answer 1

（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），
∴AP=AD=3（全等三角形的对应边相等）；
在Rt△ABP中，BP=√(AP2−AB2)=√(32−22)=√(5)（勾股定理）；
（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴(AB)/(PC)＝(BP)/(CE)即(2)/(3−x)＝(x)/(y)（相似三角形的对应边成比例），
∴y=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x=-(1)/(2)（x-(3)/(2)）²+(9)/(8)，
∴当x=(3)/(2)时，y有最大值，最大值是(9)/(8)；
（3）如图，连接BD．设BP=x，CE=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x，
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴(CP)/(CB)＝(CE)/(CD)（相似三角形的对应边成比例），
即(3−x)/(3)＝(−(1)/(2)x2+(3)/(2)x)/(2)
化简得，3x²-13x+12=0
解得，x₁=(4)/(3)，x₂=3（不合题意，舍去），
∴当BP=(4)/(3)时，PE∥BD．