已知抛物线G：y2=2px（p＞0）与圆E：(x+p2)2+y2＝r2（r＞0），C，D抛物线上两点，CD⊥x轴，且CD过抛物线的焦点F，EC=22．（1）求抛物线G的方程．（2）过焦点F的直线l与圆E交于A，B两不同点，试问

Question

已知抛物线G：y²=2px（p＞0）与圆E：(x+(p)/(2))2+y2＝r2（r＞0），C，D抛物线上两点，CD⊥x轴，且CD过抛物线的焦点F，EC=2√(2)．
（1）求抛物线G的方程．
（2）过焦点F的直线l与圆E交于A，B两不同点，试问△EAB是否存在面积的最大值，若存在求出相应直线的斜率，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意，EF=p，CF=p，
∴EC=√(CF2+EF2)=√(2)p，
∵EC=2√(2)，
∴p=2，
∴抛物线G的方程为y²=4x；
（2）设l：y=k（x-1），圆心E到直线l的距离为d，则AB=2√(r2−d2)，
S_△EAB=(1)/(2)AB•d=√(r2d2−d4)=√(−(d2−(r2)/(2))2+(r4)/(4))，
∴d=(√(2))/(2)r时，S_△EAB取得最大值(r2)/(2)，
∵d=(|2k|)/(√(1+k2))=(√(2))/(2)r＜r，
∴k²=(r2)/(8−r2)，
∴k=±r√((1)/(8−r2))，
∴△EAB面积存在最大值(r2)/(2)，相应直线的斜率为=r√((1)/(8−r2))．