如图，A1、A2为圆x2+y2=1与x轴的两个交点，P1P2为垂直于x轴的弦，且A1P1与A2P2的交点为M．（1）求动点M的轨迹方程；（2）记动点M的轨迹为曲线E，若过点A（0，1）的直线l与曲线E交于y轴右边不同

Question

如图，A₁、A₂为圆x²+y²=1与x轴的两个交点，P₁P₂为垂直于x轴的弦，且A₁P₁与A₂P₂的交点为M．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）记动点M的轨迹为曲线E，若过点A（0，1）的直线l与曲线E交于y轴右边不同两点C、B，且

AC

＝2

AB

，求直线l的方程．

Answer 1

（1）直线A₁P₁：y=(yp)/(xp+1)•(x+1)，直线A₂P₂：y=(1−xp)/(x−1)，
∵M是A₁P₁和A₂P₂的交点，所以(yp)/(xp+1)•(xm+1)＝(yp)/(1−xp) •(xm−1)，
求得xm＝(1)/(xp)，xp＝(1)/(xm)，
而yp＝√(1−xp2)＝(√(xm2−1))/(xm)，
所以M点轨迹方程是x²-y²=1．
（2）设直线l方程为y=kx+1，
∴x²-（kx+1）²=1，
xc＝(−k+√(2−k2))/(k2−1)，
xb＝(−k−√(2−k2))/(k2−1)，
∵

AC

＝2

AB

，，所以x_c=2x_b，
将上面式子代入，解得k2＝(9)/(5)，
因为直线l与曲线E交于y轴“右边”不同两点C，B，
所以k=-(3)/(√(5))（正值舍去）
直线l方程为y=-(3)/(√(5))x+1．