已知定点F（0，1）和直线l：y=-1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若点A的坐标为（2，1），直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与曲线E相交

Question

已知定点F（0，1）和直线l：y=-1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若点A的坐标为（2，1），直线l₁：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与曲线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l于点S，T．试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）由题意，点M到点F的距离等于它到直线l的距离，
故点M的轨迹是以点F为焦点，l为准线的抛物线．…（1分）
∴曲线E的方程为x²=4y．…（2分）
（2）设点B，C的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），依题意得，x₁²=y₁，x₂²=y₂．
y=kx+1代入x²=4y，消去y得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．…（3分）
直线AB的斜率k_AB=(y1−1)/(x1−2)=(x1+2)/(4)，
故直线AB的方程为y-1=(x1+2)/(4)（x-2）．…（4分）
令y=-1，得x=2-(8)/(x1+2)，
∴点S的坐标为（2-(8)/(x1+2)，-1）．…（5分）
同理可得点T的坐标为（2-(8)/(x2+2)，-1）．…（6分）
∴|ST|²=|2-(8)/(x1+2)-（2-(8)/(x2+2)）|²=|(x1−x2)/(k)|²=(16(k2+1))/(k2)．…（8分）
设线段ST的中点坐标为（x₀，-1），
则x₀=(1)/(2)（2-(8)/(x1+2)+2-(8)/(x2+2)）=2-(4(4k+4))/(8k)=-(2)/(k)．…（9分）
∴以线段ST为直径的圆的方程为(x+(2)/(k))2+(y+1)2＝(4(k2+1))/(k2)．…（10分）
令x=0，得（y+1）²=4，解得y=1或y=-3．…（13分）
∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，-3）．…（14分）